【高中数学三角函数公式大全】2017年高中数学三角函数公式整理


趣味数学 2020-06-23 12:04:07 趣味数学
[摘要]三角函数是六类基本初等函数之一,是以角度(数学上最常用弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。接下来为大家提供了数学三角函数公式,希望大家能谨记呦!!2017年高中

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三角函数是六类基本初等函数之一,是以角度(数学上最常用弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。接下来为大家提供了数学三角函数公式,希望大家能谨记呦!!

2017年高中数学三角函数公式整理

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式[/page]

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]其它公式[/page]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0练习题[/page]

【练习题】

1.-330°是(  )

A.第一象限角         B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

【解析】 -330°=30°+(-1)•360°,则-330°是第一象限角.

【答案】 A

2.把-1 485°转化为α+k&#8226;360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(  )

A.45°-4×360° B.-45°-4×360°

C.-45°-5×360° D.315°-5×360°

【解析】 -1 485°=-5×360°+315°,故选D.

【答案】 D

3.(2013&#8226;济南高一检测)若α是第四象限的角,则180°-α是(  )

A.第一象限的角 B.第二象限的角

C.第三象限的角 D.第四象限的角

【解析】 ∵α是第四象限的角,∴k&#8226;360°-90°<α<k&#8226;360°,k∈z,< p="">

∴-k&#8226;360°+180°<180°-α<-k&#8226;360°+270°,k∈Z,

∴180°-α是第三象限的角.

【答案】 C

4.在直角坐标系中,若α与β的终边互相垂直,则α与β的关系为(  )

A.β=α+90°

B.β=α±90°

C.β=α+90°-k&#8226;360°

D.β=α±90°+k&#8226;360°

【解析】 ∵α与β的终边互相垂直,故β-α=±90°+k&#8226;360°,k∈Z,∴β=α±90°+k&#8226;360°,k∈Z.

【答案】 D

5.α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=________.

【解析】 依题意知,β的终边与60°角终边相同,

∴β=k&#8226;360°+60°,k∈Z.

【答案】 k&#8226;360°+60°,k∈Z

6.θ是第三象限角,则θ2是第________象限角.

【解析】 ∵k&#8226;360°+180°<θ<k&#8226;360°+270°,k∈z< p="">

∴k&#8226;180°+90°<θ2<k&#8226;180°+135°,k∈z< p="">

当k=2n(n∈Z)时,n&#8226;360°+90°<θ2<n&#8226;360°+135°,k∈z,Θ2是第二象限角,< p="">

当k=2n+1(n∈Z)时,n&#8226;360°+270°<θ2<n&#8226;360°+315°,n∈z< p="">

θ2是第四象限角.

【答案】 二或四

7.与610°角终边相同的角表示为________.

【解析】 与610°角终边相同的角为n&#8226;360°+610°=n&#8226;360°+360°+250°=(n+1)&#8226;360°+250°=k&#8226;360°+250°(k∈Z,n∈Z).

【答案】 k&#8226;360°+250°(k∈Z)

高中数学的学习对学习者的能力是一个新的机遇与挑战,必要的策略和方法就显得尤为重要了。以上数学三角函数公式,望与广大老师和学生共享。

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